Integral – Materi pembahasan kali ini mengenai materi integral besesrta rumus, subtitusi, parsial tak tentu dan tentu dan contoh soal. Setelah sebelumnya ContohSoal.co.id membahas materi tentang Bentuk Akar. Untuk lebih jelasnya mari simak ulasan yang sudah ContohSoal.co.id rangkum dibawah ini.

Rumus dan Contoh Soal Integral

Daftar Isi Tampilkan

Integral ialah merupakan suatu bentuk operasi matematika yang menjadi invers (kebalikan) dari sebuah operasi turunan dan limit dari jumlah atau suatu luas daerah tertentu.

Integral Substitusi

Pada bagian awal sudah disinggung sedikit tentang ciri-ciri soal integral yang dapat diselesaikan menggunakan rumus integral substitusi.

Pada dasarnya pengerjaan soal yang dapat diselesaikan menggunakan rumus integral substitusi mempunyai faktor yang merupakan turunan dari faktor lainnya.

Simak lah contoh soal integral berikut ini dapat diselesaikan menggunakan rumus substitusi di bawah.

Soal integral yang diberikan di atas tidak dapat diselesaikan menggunakan rumus umum seperti biasa. Dibutuhkan sebuah cara dan metode yang tepat guna mendapatkan nilai integralnya.

Metode yang tepat untuk menyelesaikan soal integral di atas ialah rumus integral substitusi. Sebelum mempelejarai cara menyelesaikan soal integral di atas, simak terlebih dahulu persamaan integral substitusi.

Rumus Integral Substitusi

Rumus integral substitusi diberikan melalui persamaan di bawah.

Rumus

∫ ƒ (g(x))g'(x) dx = ∫ ƒ ( u) du

Integral Parsial

Maka ada sebuah cara yang bist dipakai guna menyelesaikan soal integral yang diberikan. Metode ini dapat terbilang dibilang ampuh dan merupakan pamungkas yang dapat digunakan untuk menyelesaikan soal integral.

Contoh soal integral yang dapat diselesaikan dengan rumus integral parsial ialah sebagai berikut.

Rumus Integrak Parsial

Sehingga, cara yang tepat guna mengerjakan soal yang diberikan di atas ialah dengan rumus integral parsial. Secara umum, rumus integral persial dinyatakan melalui persamaan di bawah.

Rumus

∫ u dv = uv – ∫ v du

Integral Tak Tentu

Integral tak tentu yang seperti sebelumnya dijelaskan ialah merupakan sebuah invers atau kebalikan dari turunan. Jika pada sebuah turunan dari suatu fungsi, Apabila diintegralkan maka akan menghasilkan sebuah fungsi itu sendiri. Contoh perhatikanlah turunan-turunan dalam fungsi aljabar dibawah berikut ini:

Turunan dari fungsi aljabar yakni: y = x³ ialah y^I = 3x²
Turunan dari fungsi aljabar yakni: y = x³ + 8 ialah y^I = 3x²
Turunan dari fungsi aljabar yakni: y = x³ + 17 ialah y^I = 3x²
Turunan dari fungsi aljabar yakni: y = x³ – 6 ialah y^I = 3x²

Didalam sebuah materi turunan, variabel dalam suatu fungsi akan mengalami penurunan pangkat. Berdasarkan contoh diatas, kita ketahui bahwa ada banyak fungsi yang memiliki hasil turunan yang sama yakni y^I= 3x².

Fungsi dari variabel x³ ataupun fungsi dari variabel x³ yang ditambah atau dikurang suatu bilangan (misal contohnya : +8, +17, atau -6) mempunyai turunan yang sama.

Apabila turunan tersebut dintegralkan, maka seharusnya ialah menjadi fungsi-fungsi awal sebelum diturunkan. Namun, dalam kasus tidak diketahui fungsi awal dari suatu turunan, maka hasil integral dari turunan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:

ƒ(x)= y = x³ + C

Dengan nilai C bisa berapapun jumlahnya. Notasi C ini biasa disebut sebagai konstanta integral.

Integral tak tentu ini dari suatu fungsi dinotasikan sebagai berikut:

∫ ƒ(x)dx

Pada notasi tersebut, dapat dibaca sebagai integral terhadap notasi x yang disebut integran. Secara umum integral dari fungsi f(x) ialah penjumlahan F(x) dengan C atau ditulis:

∫ ƒ (x) dx = F(x)

Oleh Sebab integral dan turunan saling berkaitan, maka rumus integral dapat diperoleh dari rumusan penurunan tersebut. Maka turunan ialah:

Turunan

d/dx α/(n+1) x (n +1) = αxn

Maka rumus integral aljabar akan diperoleh:

Rumus

∫ αx n dx = ª/(n+¹) x n+1 + C

dengan syarat-syarat .n =/ 1

Sebagai bahan contoh, lihatlah integral aljabar fungsi-fungsi berikut:

∫ 4r³ dx = 4/(³+¹)×(³+¹) + C = x4 + C
∫1/x³-dx = ∫ x¯³ dx = 1/(-³+¹)-x¯³+¹+C = – 1/2-x¯²+C = 1/2x² +C
∫ 4r³ – 3r² dx = 4/(³×¹) x(³+¹)+ 3 (²†¹)x(² + ¹) +C = x4+ x³ + C

Integral Tentu

Mengenai integral tentu pertama kali diperkenalkan oleh seorang ilmuan terkenal yaitu Newton dan Leibinz yang kemudian diperkenalkan lebih lanjut secara modern oleh Riemann.

Didalam aplikasinya, integral tentu banyak digunakan untuk menghitung luas di bawah kurva dengan batas-batas tertentu atau menghitung volume benda jika diputar.

∫ k. ƒ(x) dx = ƒ(x)|bª = F(b) – F(α)

Sifat dan Rumus Integralnya

Dibawah ini ialah merupakan sifat dari operasi integral, yakni:

∫ k. ƒ(x) dx = k ∫ ƒ(x) dx
∫( ƒ(x) ± g(x) dx = ∫ ƒ(x)dx± ∫g(x)dx
∫bª ƒ(x) dx = – ∫ªb ƒ(x) dx Perhatikan Perubahan a dan b)
∫bª ƒ(x)dx = 0
∫ρª ƒ(x)dx + ∫bρ ƒ(x)dx = ∫bª ƒ(x)dx
∫bª {ƒ(x) ± g(x)}dx = ∫ρª ƒ(x)dx ± ∫bª g(x)}dx

Rumus Dasar Integral

Rumus

∫ dx = x + c
∫x ñ dx = 1 / n +1 x n+1 + C
∫ αx∩ dx = α/n x n†1 + C
∫ k dx = kx +C
∫ 1/x-dx = In|x| + C
∫ αx dx = α×/ ln α + C
∫e× dx = e× + C

Contoh Soal Integral Parsial

Tentukanlah hasil dari ∫ cos²2x.sin2xdx ?

Jawaban nya :

Apabila U=cos2xdandU/dx=-2sin2x,maka akan menjadi :

dU=-2sin2xdx–dU/2=sin2xdx.

Sehingga menghasilkan :

∫ cos² 2x sin 2x dx = ∫ U² ( – 1/2 ) dU = ( – 1/2 ) ( μ³ / 3 ) = – μ³ / 6.

kemudian μ³ / 6 lalu disubstitusikan dengan nilai ∪ akan menjadi :

– U³ / 6 = cos³ 2x / 6.

Jadi, hasil dari ∫ cos² 2x sin 2x dx ialah = – U³ / 6 = cos³ 2x / 6.

Contoh Soal Integral

Contoh Soal 1

Diketahui∫ 8x³ – 3x² + x + 5 dx Carilah integralnya ?

Jawab :

Contoh soal 2

Diketahui∫ (2x + 1) (x – 5) dx

Jawab :

∫2x² + x- 10x – 5 + C
∫ 2x² +9x – 5 + C

Demikianlah materi pembahasan kali ini mengenai integral, semoga artikel ini bermanfaat bagi sobat semua.

Artikel Lainnya