Dalam dunia matematika, persamaan kuadrat merupakan salah satu topik yang penting dan sering diajarkan di berbagai tingkatan pendidikan. Persamaan kuadrat memiliki bentuk umum ax^2 + bx + c = 0, di mana a, b, dan c adalah konstanta, dan x adalah variabel. Baru-baru ini, telah muncul pengembangan baru dalam materi persamaan kuadrat yang akan kita bahas dalam artikel ini.
Pengertian Persamaan Kuadrat Baru
Sebelum kita memasuki materi persamaan kuadrat ini, penting untuk memahami mengapa persamaan kuadrat memiliki peranan penting dalam matematika dan aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari. Persamaan kuadrat digunakan untuk memodelkan berbagai situasi nyata seperti pergerakan benda, bentuk parabola, dan analisis statistik.
Persamaan kuadrat baru atau sering disingkat PKB merupakan suatu persamaan kuadrat yang dibentuk berdasarkan akar dan msih berkaitan dengan akar persamaan kuadrat lama.
Agar dapat menyusun persamaan kuadrat tersebut maka kita dapat menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.
Rumus Menentukan Persamaan Kuadrat Baru
Diperolehnya rumus yakni dengan cara memanfaatkan rumus abc, sebagai salah satu cara untuk menentukan akar persamaan kuadrat.
Maka didapatkan rumus umum guna mengetahui jumlah dan perkalian dari akar persamaan kuadrat.
Berikut ini ialah terdapat rumus jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat.
Persamaan yang dapat digunakan untuk menentukan persamaan kuadrat ialah sebagai berikut.
| Persamaan kuadrat awal | ax² + bx + c = 0 |
| Persamaan kuadrat baru | x² – ( x¹ + x²) x +x¹ . x² = 0 |
Dengan x¹ dan x²merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat . Dengan berdasarkan runut, maka langkah-langkah mencari persamaan kuadrat diberikan melalui daftar berikut.
Langkah-langkah menentukan persamaan kuadrat baru:
- Identifikasi Persamaan: Tentukan persamaan kuadrat baru yang ingin dipecahkan.
- Analisis Koefisien: Identifikasi koefisien-koefisien dalam persamaan dan diskriminan.
- Pendekatan Numerik: Terapkan metode numerik seperti metode Newton-Raphson atau metode iteratif lainnya untuk menghitung akar persamaan.
- Perbaikan Iteratif: Lakukan iterasi berulang untuk meningkatkan akurasi solusi.
- Evaluasi Hasil: Periksa apakah solusi sudah mendekati nilai yang diharapkan.
Berikutnya akan diberikan contoh soal cara menentukan persamaan kuadrat berserta dengan pembahasannya. Simak pada ulasan di bawah.
Contoh Soal dan Pembahasan
Apabila x1 dan x2 ialah merupakan akar dari persamaan kuadrat x2 – 3x + 5 = 0, maka tentukanlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya ialah x1 – 3 dan x2 – 3.
Jawab
Agar dapat menyusun persamaan kuadrat baru seperti pada contoh soal di atas, maka dapat menggunakan dua cara yakni dengan rumus jumlah dan hasil kali akar serta dengan rumus khusus. Mari kita bahas satu persatu.
■ Menggunakan Rumus Jumlah dan Hasil Kali akar
Persamaan kuadrat x2 – 3x + 5 = 0 memiliki nilai a = 1, b = -3 dan c = 5. Langkah awal yakni tentukanlah terlebih dahulu jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat lama sebagai berikut.
Jumlah Akar
- ⇔ x1 + x2 = -b/a
- ⇔ x1 + x2 = -(-3)/1
- ⇔ x1 + x2 = 3
Hasil kali Akar
- ⇔ x1 . x2 = c/a
- ⇔ x1 . x2 = 5/1
- ⇔ x1 . x2 = 5
Langkah selanjutnya, kita tentukan jumlah dan hasil kali akar untuk persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya x1 – 3 dan x2 – 3 yakni sebagai berikut.
Jumlah Akar
- ⇔ (x1 – 3) + (x2 – 3) = (x1 + x2) – 6
- ⇔ (x1 – 3) + (x2 – 3) = 3 – 6
- ⇔ (x1 – 3) + (x2 – 3) = -3
Hasil kali Akar
- ⇔ (x1 – 3) . (x2 – 3) = (x1 . x2) – 3×1 – 3×2 + 32
- ⇔ (x1 – 3) . (x2 – 3) = (x1 . x2) – 3(x1 + x2) + 9
- ⇔ (x1 – 3) . (x2 – 3) = 5 – 3(3) + 9
- ⇔ (x1 – 3) . (x2 – 3) = 5
Langkah terakhir kita masukkan nilai jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat ke dalam rumus umum menyusun PKB yakni sebagai berikut.
- ⇔x2–(jumlah akar)x+hasil kali akar=0
- ⇔x2–(-3)x+5=0
- ⇔ x2+3x+5=0
Maka persamaan kuadrat barunya ialah x2+3x+5=0
■ Menggunakan Rumus Khusus
Akar-akar persamaan kuadrat ialah x1 – 3 dan x2 – 3 sehingga akar-akar tersebut berbentuk x1 – n dan x2 – n. Oleh karena itu, kita gunakan rumus nomor #5 yakni sebagai berikut.
a(x+n)2+b(x+n)+c=0
Dari soal kita ketahui nilai a = 1, b = -3, c = 5 dan n = 3. Dengan demikian kita peroleh
- ⇔ a(x+n)2+b(x+n)+c=0
- ⇔ 1(x+3)2+(-3)(x+3)+5=0
- ⇔ x2+6x+9 –3x–9+5=0
- ⇔ x2+3x+5=0
Jadi persamaan-kuadrat barunya ialahx2 + 3x + 5 = 0
Kesimpulan
Menentukan persamaan kuadrat baru melibatkan pemahaman tentang konsep dasar persamaan kuadrat, termasuk diskriminan dan rumus akar. Dalam berbagai bidang, seperti analisis data dan ilmu fisika, rumus ini memiliki aplikasi yang penting. Dengan memahami konsep ini, kita dapat memecahkan masalah yang melibatkan pola kuadrat dan meramalkan hasil berdasarkan data yang ada.
Pertanyaan Umum (FAQs)
- Apa itu persamaan-kuadrat baru? Persamaan ini adalah pendekatan inovatif dalam menyelesaikan persamaan kuadrat yang lebih kompleks dengan menggunakan metode numerik dan algoritma iteratif.
- Bagaimana persamaan kuadrat ini berbeda dari metode konvensional? kuadrat baru menggabungkan pendekatan numerik dan iteratif untuk menghasilkan solusi yang lebih akurat dan efisien.
- Di mana persamaan kuadrat baru dapat diterapkan? Memiliki aplikasi dalam berbagai bidang seperti pengembangan teknologi dan analisis fisika.
- Bagaimana pendekatan numerik digunakan dalam persamaan kuadrat baru? Pendekatan numerik melibatkan penggunaan komputer dan algoritma untuk menghitung solusi persamaan dengan akurasi lebih tinggi.
- Mengapa persamaan kuadrat baru penting? Karena memberikan solusi yang lebih baik untuk masalah-masalah yang sulit diselesaikan dengan metode konvensional, membantu dalam analisis data dan pemodelan fisika.
Artikel lainnya: