Persamaan Diferensial

Posted on

Persamaan Diferensial – Setelah sebelumnya ContohSoal.co.id telah membahas materi tentang Hukum Pascal. Maka dipertemuan kali ini ContohSoal.co.id akan menerangkan secara lengkap materi tentang persamaan diferensial beserta pengertian, biasa, orde 2, eksak, rumus dan contoh soalnya. Untuk lebih jelasnya mari langsung aja kita simak ulasannya dibawah ini.

Pengertian Diferensial

Persamaan Diferensial

Apa itu Diferensial atau disebut juga turunan ? ialah merupakan suatu fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya. Misalnya pada fungsi f menjadi f’ yang memiliki nilai tidak beraturan.

Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus telah dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh seorang ilmuan yang bernama Sir Isaac Newton (1642 – 1727).

Dalam penggunaan (diferensial) ialah sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam sebuah geometri dan mekanika.

Maka dalam kasus ini diferensial juga dapat diartikan sebagai tingkat perubahan suatu fungsi atas adanya perubahan variabel bebas dari fungsinya tersebut.

Misalkan fungsi : ƒ ( x) = y

Maka, dengan y sebagai variabel terikat dan sebagai variabel bebasnya, artinya nilai dipengaruhi oleh nilai x.

Maka kesimpulannya diferensial ialah diartikan sebagai tingkat perubahan dari setiap variabel sebagai tanggapan terhadap suatu perubahan dalam variabel x.

Diferensial

Di dalam sebuah kasus ekonomi dapat dicontohkan sebagai berikut:

  • Misalkan pada sebuah fungsi permintaan, hubungan antara jumlah barang yang diminta dengan tingkat harga. Adanya perubahan tingkat suatu harga pada suatu titik tertentu akan mempengaruhi jumlah barang yang diminta. Maka, pada setiap kasus dan setiap titik bisa sama ataupun berbeda, bergantung terhadap jenis fungsi permintaannya itu sendiri.
  • Contoh lainnya dari suatu fungsi kegunaan atas segelas air.

Diferensial (turunan) fungsi dapat dinotasikan sebagai berikut:

Diferensial

Misalnya, ada beberapa fungsi sebagai berikut:

  • f (x) =3x + 5
  • y = x² – x + 1
  • q = 2p² – x + 7
  • C = 10 – 5q + 2q²

Jadi, turunan dari fungsi-fungsi di atas dapat dituliskan sebagai berikut:

  • Diferensial

Persamaan Diferensial

Dalam ilmu matematika persamaan ini berfungsi untuk suatu fungsi satu variabel atau lebih, yang menghubungkan nilai fungsi itu sendiri dan turunnya dalam berbagai orde.

Baca Juga :  Contoh Soal Daya

Dalam diferensial mempunyai peranan penting di dalam rekayasa, fisika, ilmu ekonomi dan berbagai macam disiplin ilmu lainnya.

Kemudian untuk gambaran aliran udara didalam saluran dimodelkan sesuai persamaan Navier Stokes.Persamaan diferensial ini muncul didalam berbagai macam bidang sains dan teknologi,

Persamaan diferensial muncul dalam berbagai bidang sains dan teknologi, bilamana hubungan deterministik yang melibatkan besaran yang berubah secara kontinu (dimodelkan oleh fungsi matematika) dan laju perubahannya (dinyatakan sebagai turunan) diketahui atau dipostulatkan.

Maka dalam hal inipada mekanika klasik akan terlihat, di mana gerakan sebuah benda diberikan oleh posisi dan kecepatannya terhadap waktu.

Hukum Newton memungkinkan kita untuk mengetahui hubungan posisi, kecepatan, percepatan dan berbagaia gaya  yang bertindak terhadap suatu benda tersebut, dan menyatakannya sebagai persamaan diferensial posisi sebagai fungsi waktu.

Maka dari banyaknya kasus persamaan ini bisa diselesaikan dengan cara eksplisit, dan menghasilkan hukum gerak.

Persamaan diferensial dalam kehidupan sehari-hari ialah guna penentukan sebuah kecepatan bola yang jatuh bebas di udara, hanya dengan memperhitungkan gravitasinya dan tahanan udara.

Kemudian pada percepatan bola yang menuju ke arah tanah ialah merupakan suatu percepatan oleh sebab gravitasi dikurangi dengan perlambatan karena gesekan udara.

Rumus Dan Aturan Diferensial

  •  Turunan pada fungsi konstan/konstanta

f(x)  = k dengan k sama dengan konstanta, maka f'(x) = 0

  •  Turunan pada fungsi x berpangkat n

f (x) = xn dengan n = sembarang bilangan, maka f (x) = nxn-1

  •  Turunan pada fungsi dengan koefisien c.

f (x) = cxn…jadi f (x) = cn.xn-1

  • Aturan penjumlahan dan pengurangan fungsi dalam suatu turunan.

f (x) = g(x) ± h(x) jadi f (x) = g (x) ± h(x)

  • Aturan perkalian fungsi dalam suatu turunan

f (x) = g(x),h(x) jadi f (x) = g (x) ,h(x) + g (x) ,h(x)

  • Aturan pembagian fungsi suatu turunan

  • Aturan rantai dalam suatu turunan

f (x) = g(h(x)) jadi  f (x) = g(h(x))h(x)

Difernsial Biasa

Persamaan diferensial biasa lebih mudah dipahami dan diselasaikan dibandingkan persamaan diferensial parsial, yakni persamaan relasi fungsi dengan lebih dari satu variabel.

Dibawah ini ialah beberapa contoh persamaan diferensial biasa.

Diferensial Biasa
dibawah ini terdapat beberapa contoh persamaan diferensial parsial

Baca Juga :  Tekanan Zat Cair dan Zat Padat

Menentukan Orde

Untuk dapat menentukan orde persamaan diferensial dari turunan tertinggi di dalamnya. Persamaan pertama di dalam contoh di atas ialah persamaan orde pertama.

Persamaan kedua ialah persamaan orde kedua. Derajat dari sebuah persamaan ialah angka pangkat pada suku dengan turunan tertinggi.

  • Misalnya, persamaan di bawah ini ialah persamaan orde ketiga, derajat kedua.

Diferensial

Kita menyebut sebuah persamaan diferensial adalah persamaan diferensial linier apabila derajat dan orde dari fungsi dan semua turunannya bernilai 1.

Jika tidak, persamaan tersebut ialah sebuah persamaan diferensial nonlinier. Persamaan diferensial linier harus mendapat perhatian khusus karena solusinya dapat dijumlahkan dalam kombinasi linier untuk membentuk solusinya berikutnya.

  • Di bawah ini terdapat beberapa contoh persamaan diferensial linier.

Diferensial

Contoh Soal Diferensial

Contoh Soal 1

Diketahui  f’(x) ialah turunan dari f(x) = 5x3 + 2x2 + 6x + 10, Tentukan nilai f’(x) ialah….

Pembahasan :

              f(x) = 5x3 +2x2 + 6x + 10

              f’(x) = 15x2+ 4x +5

              f’(3) = 15 . 3 +4 . 3 + 5

                      = 135 + 12 + 5

= 152

Contoh Soal.2

Sebuah turunan pertama dari f(x) = sin3(3x2 – 3) ialah f(x) = …

Pembahasan:

f(x) = sin3(3x2 – 3)

              f’(x) = sin(3-1)(3x2 – 3).3.6x.cos (3x2 – 3)

                        = 18x sin2(3x2 – 3) cos (3x2 – 3)

 

 

Demikianlah materi pembahasan kali ini mengenai persamaan diferensial, semoga artikel ini dapat bermanfaat bagi sobat semua.

Artikel Lainnya: