Contoh Soal Program Linear

Posted on

Contoh Soal Program Linear – Stelah sebelumnya Contoh Soal.coid telah membahas materi tentang Akar Pangkat 3. Maka dipertemuan kali ini ContohSoal.co.id akan menerangkan secara lengkap materi tentang contoh soal program linear. Untuk lebih jelasnya mari simak ulasan dibawah ini.

Pengertian Program Linear

Contoh Soal Program Linear

Linear ialah merupakan suatu program yang digunakan sebagai metode penentuan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Nilai optimum (maksimal atau minimum) dapat diperoleh dari nilai dalam suatu himpunan penyelesaiaan persoalan linear.

Di dalam persoalan linear tersebut terdapat fungsi linear yang bisa disebut sebagai fungsi objektif. syarat,batasan, dan kendala dalam persoalan linear ialah merupakan sistem pertidaksamaan linear.

Simak tabel persoalan maksimum dan minimum dibawah ini:

Persoalan MaksimumPersoalan Minimum
Maksimum ƒ ( x,y) = ax +byMinimum ƒ ( x,y) = ax +by
Syarat : C¹ x + d¹y ≤ k¹

C² x + d²y ≤ k²

x ≥ 0

y ≥ 0

Syarat : m¹x + n¹y ≥ k²

m²x + n²y ≥ k²

x ≤ 0

y ≤ 0

Dengan a,b,c,d adalah koefisien dan k ialah konstantaDengan a,b,m,n adalah koefisien dan k ialah konstanta

Model Matematika Program Linear

Kemudian dalam sebuah persoalan pada program linear yang masih dinyatakan dalam kalimat umum, yang diubah kedalam sebuah model matematika. Model matematika ialah pernyataan yang menggunakan peubah dan notasi matematika. Sebagai gambaran:

Sebuah produsen sepatu membuat 2 model sepatu menggunakan 2 bahan yang berbeda. Komposisi model yang pertama terdiri dari 200 gr bahan pertama dan bahan kedua 150 gr.

Sedangkan komposisi model kedua tersebut terdiri dari 180 gr bahan pertama dan 170 gr bahan kedua. Persediaan di gudang bahan pertama 76 kg dan persediaan digudang untuk bahan kedua 64 kg. Harga model pertama ialah Rp. 500.000,00 dan untuk model kedua harganya Rp. 400.000,00.

Apabila disimpulkan atau disederhanakan ke dalam bentuk tabel akan menjadi sebagai berikut:

Jenis SepatuBahan 1Bahan 2Harga SepatuJumlah Sepatu
Model 1200 gr150 gr500.000.00x
Model 2180 gr170 gr400.000.00y
Ketersedian72.000 gr64.000 gr

Dengan peubah dari jumlah optimal model 1 ialah x dan model 2 ialah y, serta hasil penjualan optimal ialah f(x, y) = 500.000x + 400.000y. Dengan beberapa syarat:

  • Apabila jumlah maksimal bahan 1 yaitu 72.000 gr, maka 200x + 150y ≤ 72.000.
  • Apabila jumlah maksimal bahan 2 yaitu 64.000 gr, maka 180x + 170y ≤ 64.000
  • Masing-masing dari setiap model harus terbuat.

Model matematika untuk mendapatkan jumlah penjualan yang maksimum yakni:

Permodelan Maksimum
Maksimum ƒ ( x,y)=500.000.00x+400.000.00y
Syarat 200x + 150y ≤ 72.000

180x +170y ≤ 64.000

x ≥ 0

y ≥ 0

Contoh Soal Program Linear dan Pembahasan

Tentukanlah sebuah nilai minimum dari: f(x, y) = 9x + y pada daerah yang telah dibatasi oleh 2 ≤ x ≤ 6, dan 0 ≤ y ≤ 8 serta x + y ≤ 7.Pembahasan 1:

  • Langkah 1 yakni menggambar grafiknya terlebih dahulu:

Contoh Soal Program Linear

  • Langkah ke-2 menentukan titik-titik ekstrimnya:

Maka berdasarkan gambar diatas, ada 4 titik ekstrim, yaitu: A, B, C, D dan himpunan penyelesaiannya ada di area yang telah diarsir.

  • Langkah yang ke-3, yakni menyelidiki nilai optimum:

Berdasarkan grafik diatas dapat diketahui titik A dan B mempunyai nilai y = 0, sehingga kemungkinan menjadi nilai minimum.

Selanjutnya kedua titik disubstitusikan kedalam f(x,y)=9x+y.untuk dibandingkan.

Contoh Soal Program Linear

Dengan membandingkan tersebut,maka bisa disimpulkan bahwa titik A memiliki nilai minimum 18.

Contoh Soal 2:

Tentukanlah dimana nilai maksimum fungsi f(x, y) = 4x + 5y yang akan dicapai pada pada grafik ini!Contoh Soal Program Linear

Pembahasan 2:

Titik ekstrim pada gambar ialah:

  • A tidak mungkin maksimum karena titik A paling kiri.
  • B(3, 6)
  • C(8, 2)
  • D(8, 0)

Nilai tiap titik ekstrim ialah:

  • B (3,6) → ƒ (3,6) = 4 (3) +5(6) =42
  • C (8,2) →ƒ (8,2) = 4(8) + 5(0) = 42
  • D (8,0) → ƒ ( 8.0) = 4(8) + 5 (0) =32

Sehingga dapat diketahui hasilnya bahwa nilai maksimumnya berada pada titik yang melalui garis BC dengan nilai maksimum 42.

Contoh Soal.3

Pada salah satu sebuah perusahaan meubel membutuhkan 18 unsur A dan 24 unsur B per hari. Guna membuat barang jenis I membutuhka 1 unsur A dan 2 unsur B, Namun agar dapat membuat barang jenis II membutuhkan 3 unsur A dan 2 unsur B.Maka jika pada barang I dijual.Rp.250.000,00/unit . Kemudian yang keII dijual dengan harga.Rp400.000,00 /unit, maka agar penjualannya mencapai maksimum, berapa banyak masing-masing barang harus dibuat?
A. 6 jenis I
B. 12 jenis II
C. 6 jenis I dan 6 jenis II
D. 3 jenis I dan 9 jenis II
E. 9 jenis I dan 3 jenis IIPembahasan
Barang I akan dibuat sebanyak x unit
Barang II sebanyak y unitIlustrasi dibawah ini guna agar dapat memudahkan pembuatan model matematikanya:

Bahan\ BarangXYBahan Tersedia
Unsur A1 Unsur3 Unsur18 Unsur
Unsur B2 Unsur2 Unsur24 Unsur

x + 3y ≤ 18
2x + 2y ≤ 24

Fungsi objektifnya:
f(x, y) = 250000 x + 400000 y

Titik potong
x + 3y = 18 |x2|
2x + 2y = 24 |x 1|

2x + 6y = 36
2x + 2y = 24
____________ _
4y = 12
y = 3
2x + 6(3) = 36
2x = 18
x = 9
Titik potong kedua garis (9, 3)

Berikut grafik selengkapnya:

Contoh Soal Program Linear

Tes pada titik ke f(x, y)=250000 x+400000 y
Titik(0,0)f(x,y)=250000(0)+400000(0)=0
Titik(12,0)f(x,y)=250000(12)+400000(0)=3000 000
Titik(9,3)f(x,y)=250000(9)+400000(3)=3450.000
Titik(0,6)f(x,y)=250000(0)+400000(6)= 2400 000

Dari uji titik terlihat hasil maksimum jika x = 9 dan y = 3 atau dibuat 9 barang jenis I dan 3 barang jenis II.

Contoh Soal.4

Nilai minimum dari f(x,y) = 4x + 5y yang memenuhi pertidaksamaan 2x + y ≥ 7, x + y ≥ 5, x ≥ 0, dan y ≥ 0 ialah …
A. 14
B. 20
C. 23
D. 25
E. 35Pembahasan
Langsung cari titik potongnya dulu:
2x + y = 7
x + y = 5
———— −
x = 2
y = 3Dapat titik A (2, 3)Berikut grafik selengkapnya:Program LinearUji titik
f(x, y) = 4x + 5y
A(2, 3) = 4(2) + 5(3) = 23
B(5, 0) = 4(5) + 5(0) = 20
C(0, 7) = 4(0) + 5(7) = 35Terlihat nilai minimumnya ialah 20.

Demikianlah materi pembahasan kali ini mengenai Contoh Soal program linear, semoga artikel ini memberi manfaat bagi sobat semua.

Artikel Lainnya:

Baca Juga :  Contoh Soal Logaritma Persamaan dan Perkalian