Dalam matematika, persamaan logaritma merujuk pada persamaan yang mengandung variabel di dalam fungsi logaritma. Persamaan ini memiliki peran penting dalam berbagai bidang, termasuk ilmu pengetahuan alam, ekonomi, dan teknik. Artikel ini akan membahas pengertian persamaan logaritma, sifat-sifatnya, serta cara-cara penyelesaiannya.

Pengertian Logaritma

Daftar Isi Tampilkan

Logaritma ialah merupakan sebuah kebalikan dari suatu perpangkatan. Apabila pada sebuah perpangkatan a^c=b, maka dapat dinyatakan dalam logaritma sebagai:

^alog b = c

dengan syarat a > 0 dan $a \ne 1$

Pada penulisan logaritma ^alog b = c, a disebut bilangan pokok dan b disebut bilangan numerus atau bilangan yang dicari nilai logaritmanya (b > 0) dan c merupakan hasil logaritma.

Apabila pada nilai a sama dengan 10, maka 10 tidak dituliskan sehingga menjadi log b=c. Kemudian jika dari nilai pada bilangan pokoknya e (bilangan eurel) dengan e=2,718281828 maka logaritmanya ditulis dengan logaritma natural dan penulisannya dapat disingkat menjadi ln, misalnya ^elog b = c menjadi:

ln b = c

Berikut ini sejumlah contoh logaritma:

Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma merupakan persamaan yang memuat bentuk logaritma, baik variabel xxsebagai tanda logaritma maupun variabel xx sebagai bilangan pokok atau bilangan basis suatu logaritma.

Jika suatu persamaan memuat bentuk logaritma maka ada beberapa sifat yang berlaku pada persamaan logaritma.

Jika logaf(x)=logaploga⁡f(x)=loga⁡p, maka f(x)=pf(x)=p asalkan f(x)>0f(x)>0
Jika logaf(x)=logbf(x)loga⁡f(x)=logb⁡f(x), dengan a≠ba≠b maka f(x)=1f(x)=1
Jika logaf(x)=logag(x)loga⁡f(x)=loga⁡g(x), maka f(x)=g(x)f(x)=g(x) asalkan f(x)>0f(x)>0 dan g(x)>0g(x)>0
Jika logh(x)f(x)=logh(x)g(x)logh(x)⁡f(x)=logh(x)⁡g(x), maka f(x)=g(x)f(x)=g(x) asalkan f(x)>0,g(x)>0f(x)>0,g(x)>0 serta h(x)>0h(x)>0 dan h(x)≠1h(x)≠1
Jika logf(x)h(x)=logg(x)h(x)logf(x)⁡h(x)=logg(x)⁡h(x), maka beberapa kemungkinan adalah

1. f(x)=g(x)f(x)=g(x) dengan syarat h(x)=1,f(x)>0,f(x)≠1,g(x)>0,g(x)≠1h(x)=1,f(x)>0,f(x)≠1,g(x)>0,g(x)≠1
2. f(x)=g(x)f(x)=g(x) dengan syarat h(x)≠1,h(x)>0

Sifat-sifat Logaritma

Sifat Logaritma dari Perkalian

Suatu logaritma merupakan hasil penjumlahan dari dua logaritma lain yang nilai kedua numerus-nya merupakan faktor dari nilai numerus awal. Berikut modelnya:

Sifat

^alog p.q = ^alog p + ^alog q

dengan syarat a > 0, ^{α ≠ 1} ., p > 0, q > 0.

Perkalian Logaritma

Suatu logaritma a dapat dikalikan dengan logaritma b jika nilai numerus logaritma a sama dengan nilai bilangan pokok logaritma b. Maka hasil daril perkalian itu merupakan logaritma baru dengan nilai pokok sama dengan logaritma a, dan nilai numerusnya juga logaritma b. Berikut model sifat logaritma nya:

Contoh Soal Logaritma dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Diketahui ³log 5 = x dan ³log 7 = y. maka, nilai dari ³log 245 ^1/2 ialah… ?Pembahasan 1

³log 245 ^½ = ³log (5 x 49) ^½
³log 245 ^½ = ³log ((5) ^½ x (49) ^½)
³log 245 ^½ = ³log (5) ^½ + ³log (7²) ^½
³log 245 ^½ = $\frac{1}{2}$ ( ³log 5 + ³log 7)
³log 245 ^½ = $\frac{1}{2}$ (x + y)

Jadi, nilai dari ³log 245 ^1/2 ialah $\frac{1}{2}$ (x + y).

Contoh Soal 2

Jika b = a⁴, nilai a dan b positif, maka nilai ^alog b – ^blog a ialah…?Pembahasan 2

Diketahui bahwa b = a⁴, maka dapat disubstitusi kedalam perhitungan:

^alog b – ^blog a = ^alog a⁴ – $^{a^4} log a$
^alog b – ^blog a = 4 (^alog a) – $\frac{1}{4}$ ( ^alog a)
^alog b – ^blog a = 4 – $\frac{1}{4}$
^alog b – ^blog a = $3 \frac{3}{4}$

Jadi, nilai dari ^alog b – ^blog a pada soal tersebut adalah $3 \frac{3}{4}$ .

Contoh Soal 3

Jika ^alog (1- ³log $\frac{1}{27}$ ) = 2, maka tentukanlah nilai a.

Jika kita buat nilai 2 menjadi sebuah logaritma dengan bilangan pokok logaritmanya ialah a menjadi ^alog a²= 2, maka didapat :

^alog (1- ³log $\frac{1}{27}$ ) = 2
^alog (1- ³log $\frac{1}{27}$ ) = ^alog a²

Sebuah hilai numerus kedua yang bisa menjadi sebuah persamaan:

1- ³log $\frac{1}{27}$ = a²

³log 3 – ³log $\frac{1}{27}$ = a²
³log 3 – ³log 3^(-3)= a²
³log $\frac{3}{3^{(-3)}}$ = a²
³log 3⁴ = a²

4 = a²

Sehingga diperoleh nilai a = 2

Demikianlah materi pembahasan kali ini mengenai Persamaan logaritma, semoga artikel ini bermanfaat bagi sobat semua.

Perpangkatan	Contoh Logaritma
2¹ = 2	²log 2 = 1
2⁰ = 1	²log 1 = 0
2³ = 8	²log 8 = 3
2-³ = 8	²log = – 3
9³/4 =3√3	⁹log $3 \sqrt{3} = \frac{3}{4}$
10³ = 1000	log 1000 = 3